第一单元  集合与逻辑 推理与证明

本章知识结构

本章重点难点聚焦

   重点：（1）与集合有关的基本概念和集合的“并”、“交”、“补”运算。

        （2）全称量词、全称命题、存在量词、特称命题等概念及应用。

（3）充分、必要、充要条件的意义，两个命题充要条件的判断。

（4）合情推理与演绎推理的概念和应用。

（5）直接证明与间接证明的基本方法。

难点：（1）有关集合的各个概念的含义以及这些概念之间的联系。

    （2）含有一个量词的命题的否定。

    （3）判断充要条件时，区分命题条件和结论。

    （4）运用合情推理与演绎推理解决问题。

    （5）反证法的证明。

本章学习中注意的问题：

（1）在解答有关集合问题时，首先弄清代表元素，明确元素特点；当集合元素含有参数时，注意元素互异性；在集合运算中注意边界点、临界点及空集可能性。

（2）注意全称命题，特称命题的否定。

（3）研究充分条件，必要条件，充要条件时注意联系命题，注意原命题与逆否命题的等价性。

（4）注意数形结合，分类讨论，等价转化等思想方法的运用。

本章高考分析及预测

（1）近几年来，每年都有考查集合的题目，总体来说这部分试题有如下特点：一是基本题，难度不大;二是大都以选择题、填空题形式出现，有时是解答题的一个步骤。对于集合的考查：一是考查对基本概念的认识和理解，二是对集合知识的应用。无论哪一种形式，都以其他基础知识为载体，如方程（组）、不等式（组）的解集等。

（2）对于逻辑的考查主要考查四种形式的命题和充要条件，特别是充要条件，已经在许多省市的试卷中单独出现，命题形式：一是原命题与逆否命题的等价性（含最简单的反证法）;二是充要条件的判定。在考查基础知识的同时，还考查命题转换、推理能力和分析问题的能力以及一些数学思想方法的考查。

（3）推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处不在，从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明是高考中常考的题型之一，对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断经常用到，有独到之处。

（4）预计在2009年的高考中，集合部分的试题还将以选择题或填空题的形式出现，主要考查集合语言与集合思想的运用，考查以集合为背景的应用性、开放性问题，命题将构思巧妙、独特新颖、解法灵活；而对于命题的考查与其它知识相结合，因此基本概念和技能一定要落实好。

§1.1 集合 集合间的基本关系

新课标要求

  1、了解集合的含义，元素与集合的“属于关系”。

  2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

  3、理解集合之间的包含和相等的含义，能识别给定集合的子集。

  4、在具体情景下，了解全集与空集的含义。

重点难点聚焦

  重点：（1）集合的概念与表示。

       （2）集合之间的基本关系。

  难点：（1）集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。

       （2）元素与集合、集合与集合之间的关系以及符号的应用。

       （3）空集的特殊性。

高考分析及预测

集合是数学中最基本的概念之一，集合语言是现代数学的基本语言，因此集合的概念以及集合之间的关系是历年高考的必考内容之一，本部分的考查一般有两种形式：一是考查集合的相关概念，集合之间的关系，题型以选择题、填空题为主；二是考查集合语言、集合思想的理解与应用，这多与其他知识融为一体，题型也是一般以选择填空为主，单纯的集合问题以解答题形式出出现的几率较小，多是与函数、不等式等联系。在复习中还要特别注意，新课标的中特别强调表达与描述同一问题的三种语言“自然语言、图形语言、集合语言”之间的关系，因此要注意利用韦恩图数轴函数图象相结合的作用，另外集合新定义信息题在近几年的命题中时有出现，注意研究。2009年是新课标命题第三年，预测在高考中部分会继续保持稳定难度不会太大，命题形式会更加灵活新颖。

提组设计

再现型题组

  1、填空

    （1）下列说法中①全中国的大胖子，②小于100的所有质数，③幸福中学高三1班同学，④2008年北京奥运会的所有比赛项目，

        以上四个说法不能组成集合的是      

（2）集合A=,则实数k的取值范围是        

  2、选择

     （1）设全集U=R,集合M=,N=则下列关系中正确的是（   ）

  A、M=N    B、     C、        D、

     （2）给出如下关系式①②,③④⑤⑥{a}{a},其中正确的是（   ）

   A、①②④⑤    B、②③④⑤    C、②④⑤    D、②④⑤⑥

巩固型题组

3.2008年第29届奥运会在北京召开，现在三个实数的集合，既可以表示为，也可以表示为，则         。

4.已知集合，则A,B,C之间的关系是         。

   A.   B.   C.    D.

5.设P,Q为两个非空集合，定义集合，若则中元素的个数是               。

   A. 9    B. 8    C. 7   D. 6

6.记函数的定义域为A, 的定义域为B.

（1）求A.

（2）若，求实数a的取值范围.

提高型题组

7.已知，求实数x.

8.已知集合。

（1）若求实数m的取值范围.

(2).若求实数m的取值范围.

（3）若求实数m的取值范围.

反馈型题组

9.（08年江西）定义集合运算，则集合的所有元素之和为（     ）。

A .  0    B.2     C.  3    D.    6

10.设集合，则正确的是（    ）

11.（08福建）设集合A=,B=,那么“”是“”的         

A.充分而不必要条件      B.必要而不充分条件

C.充要条件              D.既不充分也不必要条件

12.已知集合A=只有一个元素，则a=       

13.已知集合，集合。

（1）若,求实数a的取值范围；

（2）若,求实数a的取值范围；

（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由。

14.设A为实数集，满足,,

   (1)若,求A;

   (2)A能否为单元素集？若能把它求出来，若不能，说明理由；

  （3）求证：若,则

15.已知集合,集合,

   其中,设全集I=R,欲使，求实数a的取值范围。

§1.2集合的运算

        新课标要求

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

（2）理解在给定集合中的一个子集的补集的含义。会求给定子集的补集。

（3）能使用韦恩图表达集合的关系及运算。

       重点难点聚焦

 并集、交集、补集的含义，以及两个集合之间并、交、补的运算

      高考分析及对策

（1）以考查集合的并、交、补等运算为主，同时注重韦恩，数轴应用，求并、交、补等数形结合的思想的考查。

（2）本节在高考中常以选择、填空题型考查，属容易题。

     题组设计

再现型题组

1.已知集合M=则为

A    B

C             D

2 已知集合,,R是全集。

①  ②  ③ ④

其中成立的是（ ）

A ①②           B  ③④      C  ①②③      D  ①②③④

巩固形题组

3.设函数的定义域M，函数的定义域为N，求

 （1）集合M，N

 （2）集合,

4.（08湛江模拟）已知集合，N为自然数集合，求

5.（07北京）已知集合，，若

，求a的取值范围

提高型题租

6.（08广东清远）记函数的定义域为A，，(a<1)的定义域为B

 (1)求A

（2）若，求实数a的取值范围

7.已知,且求实数m的取值范围

8.设全集是实数集R，，。

  （1）当a=-4时，求

  （2）若，求实数a的取值范围

  反馈型题组

9.设全集U是实数集R，,,则图中阴影部分所表示的集合是（   ）

A.  B.  C.  D.   

10.(08广东兴宁模拟)设数集，，M、N都是集合的子集，如果把b-a叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是

   A.     B.      C.     D.   

11.定义集合A*B=,设，则集合A*B所有元素之和为         

12.高三某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数       

13.已知集合，

（1）若,求实数a的取值范围

    (2)当a取使不等式恒成立的最小值时，求

§1.3命题、基本逻辑连接词与量词

新课标要求：

1.了解命题及逆命题、否命题与逆否命题

2.了解逻辑连结词“或”“且”“非”的含义。

3.理解全程量词与存在量词的意义。

4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

5.学会运用等价转化思想进行推理。

重点难点聚焦：

本节内容的重点是有关命题的概念及四种命题间的相互关系；逻辑联结词的含义及命题真假的判定；全称量词与存在量词的有关概念。

本节内容的难点：是对含有一个量词的命题的否定，含有逻辑联结词的命题的真假的判断，以上是重点突破的内容。

高考分析及预测：

1.考查命题转化，逻辑推理能力和分析问题，解决问题的能力。多以选择题、填空题的形式出现。

2.全称量词与存在量词作为新增内容，很有可能在选择题，填空中出现。

题组设计

再现型题组：

1.     分别指出由下列命题构成的“”，“ ”“”形式的命题的真假。

（1）p: ,    q:

（2）p:1是奇数，q:1是质数

（3）p:      q:

（4）p:         q:27不是质数

（5）p:不等式的解集是

q:不等式的解集是

2.     写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属于全称命题还是特称命题：

（1）所有的有理数是实数。

（2）有的三角形是直角三角形

（3）每个二次函数的图像都与Y轴相交

（4）

巩固型题组

3.     如果命题“”是真命题，命题“ ”是假命题，那么（）

（A）命题p和命题q都是假命题

(B) 命题p和命题q都是真命题

(C) 命题p和命题非q真值不同

(D) 命题p和命题非q真值相同

4.已知，设命题p:函数在R上单调递增；命题q:不等式对恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。

提高型题组

5设P:关于x的不等式的解集是,Q:函数的定义域为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围.

6（2007年江苏统考）下列命题中不正确的是（）

A. ,有是等差数列

B. ，使是等差数列

C. ，有是等差数列

D.  ，使是等差数列

反馈型题组：

7. 已知命题p: ，则（ ）

A. :      B. :

C. :      D. :

8. 命题“存在，使”的否命题是（）

A.存在，使>0

B. 不存在，使>0

C.对于任意都有

D. 对于任意都有>0

9. 命题“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是（）

A.若,则或

B. 若或,则

C. 若,则且

D. 若且,则

10. 命题p:不等式的解集为，命题q:“A=B”是“sinA=sinB”成立的必要非充分条件，则（  ）

A．p真q假                    B.“p且q”为真

C. “p或q”为假               D.p假q真

11. 与命题 “若，则”等价的命题是（）

A. 若，则          B. 若，则                  

C若   则         D. 若则

12. 如果命题“”为假命题，则（  ）

A.p、q.均为真命题

B. p、q.均为假题

C..p、q.中至少有一个为真命题

D .p、q.中至多有一个为真命题

13. 已知命题p: ，q: ，且 “p且q”与“非p”同时为假命题，求x的值。

§1.4充分条件，必要条件与四种命题

新课标要求

1.本节涉及到的主要基础知识

（1）了解命题及其逆命题，否命题，逆否命题

（2）理解充分条件，必要条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系

2.常用的数学思想方法

演绎法，特例法，转化思想法

3.主要能力

运算能力和逻辑思维能力

重点难点聚焦

本节重点难点是四种命题的等价转化和充分条件，必要条件，充要条件的判断

高考分析和预测

近几年的高考命题中，命题成立的充分，必要及充要条件的求解和判断问题；四种命题的关系已成为高考命题的首选素材。一方面这类问题具有很深广的开放性，另一方面命题的空间广阔，可与多个知识点进行交汇，命题素材随处可见。

题组设计

再现型题组

1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若，则方程有实根；

（2）若，则或；

（3）若，则全为零

2.在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由

（1）A: 方程有实根；

（2）A:圆与直线相切，B：

巩固型题组

3.已知：，且是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围。

4.下列命题：（1）“若xy=0则x,y中至少有一个为零”的否命题（2）

面积不相等的三角形不全等，（3）“若，则有实根”的逆否命题，（4）是方程表示直线的充分不必要条件，其中真命题有

提高型题组

5.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，命题的否定，并判断它们的真假：

（1）若，则方程有实根；

（2）若都是奇数，则是偶数；

（3）若，则或；

（4）若，则全为0.

6.已知抛物线C: 和点A（3，0），B(0,3).求证：抛物线C与线段AB有两个不同的交点的充要条件是

反馈型题组

7（2007重庆）命题“若，则”的逆否命题是（  ）

A.若，则，或      B.若，则

C.若，或，则      D.若